S1,S2,S3……Sn包含在S类中（而非S类全部）
　　所以，S——P
　　这里，没有矛盾的情况对于作出一般性的结论来说是必要的。问题是，有什么根据可以认为，从个别性陈述过渡到普遍性陈述是充分的呢？按休谟的意思如果Sn-1的情况都为真，但是Sn的情况假，并不违反矛盾律。
　　休谟的疑难提出来后，被认为是对科学中因果律的必然性的否定，这就成了大问题。美国逻辑学家M·布莱克(Max  Black)综合了众多回答归纳问题的文献，把提供的答案，简单概括为四个方面：第一，休谟的责难是无法应付的；所以，归纳是站不住脚的，应该把归纳从人们称道的理性推理中排除出去。第二，从休谟的批判看来，通常的归纳论证需要改进，方法是或者(a)增加更多前提，或者(b)结论改称概率的陈述。在这两种情况下，结论的合理性被期待为是演绎地从前提中推出的，此时，归纳逻辑将被构造成应用的演绎逻辑的一个分支。第三，尽管归纳论证不能满足演绎的正确性的标准，归纳行为（而非规则或原则），在某种新的意义下可以证明其合理性。归纳如果不能是有效的话也能有存在的理由。第四，休谟问题产生于概念和语言的混乱，因此阐明这些混乱及其根源，与其说是解决这个问题，不如说是取消了这个问题。（注：转引自朱水林：《现代逻辑引论》第400页，上海人民出版社1989年版。）
　　我们认为，休谟问题这四个解答孤立地来看都不成立。可以从第二以及第四两方面结合起来解决。由于归纳推理有成立及其不成立两种可能性，因此必须应用模态逻辑，才能处理因果律表达出来的必然性。
　　　　二、不完全归纳推理与反事实蕴涵相关
　　如上所述，休谟的意思是，如果Sn-1是P都是真，但是Sn是P的情况假，并不违反矛盾律。这完全是正确的。然而我们如果进一步问，Sn是非P，是否就真得到了一个矛盾呢？经验论的回答是肯定的，但是，康德从哲学上反驳了休谟的经验论。他认为因果律是先验的，如果理论得不到确证，原因可以一再被追溯，简单经验不能证伪因果律。我们要指出，它暗含了这样一个思想：假命题有可能真。这就开拓了使用模态逻辑的可能性。
　　我们先来看看物理学上几个例子。牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中宣称，在实验哲学中，“特殊命题从现象中推出，然后通过归纳使之成为普遍命题。物体的不可入性、可动性和冲力以及运动定律和万有引力定律就是这样发现的。”（注：约翰·洛西：《科学哲学历史导论》第86页，华中工学院出版社1982年版。）事实上，牛顿是在归纳了开普勒三大定律后建立牛顿力学的。牛顿定律的证实与否要涉及实验观察，然而实验观察本身又受理论影响，这里就存在着复杂性。例如，天王星绕太阳公转的轨道有些反常（不符合牛顿理论）。英国天文学家亚当斯和法国文学家勒韦里尔分别根据牛顿的理论，认为这是由于在天王星轨道以外某个未知的行星对其施加了引力的结果。他们算出了这颗假设的行星的位置。1846年，德国天文学家加勒将望远镜对准勒韦里尔所指的一点，果然发现了一颗新的星，称为海王星。但是，1845年，勒韦里尔发现水星的轨道也不规则，它的近日点有每世纪43弧秒的单向移动。苗韦里尔如法炮制，认为这种偏移可能是一颗未被发现的行星造成的，称为祝融星。天文学家花了几十年的时间来寻找这个行星，最后大家承认，祝融星不存在。
　　又如，为了论证在光速或接近光速的条件下牛顿力学中伽利略变换依旧成立，假设了以太的存在，麦克尔逊－莫雷实验没有发现以太存在的任何证据，洛伦茨根据牛顿理论，用运动物体在相对以太运动方向收缩的假定，解释了麦克尔逊－莫雷实验。只是到狭义相对论出现后，才发现不需要作这些假定。
　　以上例子说明，不完全归纳推理在物理学上应用相当广泛。
　　在一个理论的归纳论证中，我们对任何表现上与这个理论的公理系统相矛盾的现象，打算增设理论所允许的某事物存在的方式去解答它，但是理论的公理数目本身没有增加。
　　其推理模式是：如果（如果对所有的i≤n-1，P(Sn))则P(Si)，并且实验上P(Sn)假），则Sn是P可能为真，当且仅当理论提出一个新假定P(Sn+1)，并且（如果对所有的i≤n-1，P(Si)并且P(Sn+1)，则（P(Sn)并且C1）。其中C1表明了误差。
　　这种推理模式，其实也就是一种反事实蕴涵。有学者说，根据齐硕姆等人的共存性理论，反事实条件句“A蕴涵B”为真，仅仅当前件A加上由某些规律和真命题组成的集合后推出B。而A与这些规律和真命题组成的集合相容。（注：陈波：《逻辑哲学导论》第109页至110页，中国人民大学出版2000年版。）
　　美国逻辑学家M·布莱克在《哲学百科全书》（美1967）词条“归纳”中说：“归纳这个词来自亚里士多德所用epagoge的拉丁译名，这里用来泛指一切非证明(non  demonstrative)论证，在这种论证中，前提的真实性并不确认结论的真实性，尽管意着有很好的理由去相信结论真。这样的论证也称为“扩大的”(ampliative)论证，如C.S.皮尔思所称。因为它的结论可以预论在前提中并未预设其存在的个体的存在。”（注：朱水林：《现代逻辑引论》第396页，上海人民出版社1989年版。）之所以如此，我们认为这是由于人们看到了Sn是P的假和S类在经验上不是一个全集有关。在一个扩展的S类中，Sn可能是真的。或者说，Sn[*]是非P，Sn[*]在经验范围上比Sn狭窄，但是Sn有可能是P。这个证据，就是康德对分析命题（相当于S是一个全集或常集）和先天综合命题（相当于S是一个扩展集或变集）的区分。
　　　　三、引入矛盾的理论证伪不完全归纳推理
　　康德提出简单经验不能证伪因果律，其论证的关键在于，如果原因一再被追溯，又一再被证伪，归纳推理仍可反复应用，仅仅有实验并不能确定命题自身的真实性。比如祝融星不存在，并不直接导致牛顿引力理论的否证，人们还可以作其他假定。这就意味着，在归纳问题上，相对于理论，经验不是完全独立的，说因果性被推翻了是无理由的。康德认为，休谟从经验出发，断定Sn是非P，是不正确的，这是导致怀疑论成立的根源。因为如果仅仅凭经验能推翻已真的理论，因果链就从中断开了。同时康德也谦虚地表示，断定Sn是P，或者说必然有一个原因存在，却是不对的。为什么呢？康德解释说：“每一个个别的经验不过是经验领域的全部范围的一部分；而全部可能经验的绝对的整体本身并不是一个经验，不过这个问题却是理性必然要管的一个问题；仅仅为了表现这个问题，就要求一些和纯粹理智概念完全不同的概念。纯粹理智概念的使用仅仅是内在的，即关于经验的，仅就经验之能够被提供出来说的；而理性概念是关于完整性的，即关于全部可能经验之集合的统一性的，这样一来，它就超出了任何既定的经验而变成了超验的。”（注：康德：《任何一种能够作为科学出现的未来形而上学导论》第104页，商务印书馆1978年版。）但是，休谟可以不断定Sn是非P，他可以说，Sn可能是非P，这样，休谟的问题依然成立。所以，康德对休谟疑难的解答，就不能说是完全解决了问题。
　　然而，康德无疑也给人以许多有益的启发，我们有必要作进一步的阐述。对于归纳问题，迄今为止，许多的解决方法，在于都认为只要一个理论和实验两者，就包含了所有答案。人们往往借助于经验独立论或独断论。在近代哲学上，逻辑经验主义就主张实验是可完全独立于理论的。正如江天骥所说：“和罗素维特根斯坦的逻辑原子论不同的是，逻辑经验主义者不是从最下层的初级或原子命题出发，向上探索，而是从最上层的科学理论出发，向下探索。这样就提出了科学理论的基础问题。他们认为科学理论的证实或证伪过程终结于一种逻辑上特殊的命题，称为基本命题。在基本命题的性质问题上，逻辑经验主义者中间发生不断的争论。”卡尔那普即说，“假定有某种知识的根本基础，即不容置疑的关于直接所与的知识。另的每一种知识都被认为得到这个基础的坚定支持，因而可以同样确实地判定，这就是我在《逻辑构造》这本书里所描绘的图画。”（注：江天骥：《当代西方科学哲学》第26页，中国社会科学出版社1984年版。）
　　现在，如果用两种矛盾的理论，而互相矛盾的理论其中归纳域Sn正好相反，例如，新理论推定Sn是非P，就不必引用因果观念。如果新理论能重新建立归纳，对旧理论中Sn-1是P也能推定，归纳问题就解决了。这一点似乎最难理解，因为按照旧理论，它们是矛盾的。但是，我们仍可以认识到，归纳的范围是在扩大的，新理论与旧理论的矛盾是量的，而不是质的。
　　现在我们可以来说明，祝融星不存在，并不直接导致牛顿引力理论的否证。后来爱因斯坦提出了广义相对论，该理论指出，任何一个旋转天体的近日点都有类似的单向移动，从而使得假设祝融星的存在成为不必要。广义相对论把牛顿理论视作一个特例。所以建立新归纳的方法应遵循以下两个方法：
　　方法之一：努力探索不同的理论之间的矛盾，即寻找矛盾理论的原则。
　　例如：描写真空中传播运动的电磁场的麦克斯韦方程包含一个量c，代表光速，它是否是一个不变量？在确信伽利略变换是正确的前提下，爱因斯坦遇到了一个带根本性的问题：狭义相对性原理同麦克斯韦方程相矛盾。如果按照伽利略变换，麦克斯韦方程在不同的参考系中就具有不同的形式，这就违背了相对性原理。由于爱因斯坦对相对性原理是确信的，所以他对麦克斯韦方程产生了怀疑，尽管他花了一些时间试图修正麦克斯韦方程，但他没有取得成功。后来，爱因斯坦又从确认麦克斯韦方程对一切互相作匀速运动的坐标系不变这一观点出发，建立了相对论。就是说，光速在其中不变；而质量，在相对论中是变化的。
　　这里指的是矛盾的不同的理论，而非矛盾的事物。而一个理论本身必须满足不矛盾性原则，因为公理系统是不应有矛盾的，不然它就可以推出任何结论。假定q代表任何命题，非p和p代表矛盾命题，我们有：p并且非p①。把公式①代入公理：如果p，那么（p或者q）中的命题p，由该公理和①，我们有：（p并且非p）或者q②。由于非（非p或者p）等值于（p并且非p）③。将非（非p或者p）替换②中的（p并且非p），我们有：非（非p或者p）或者q，此公式即如果（非p或者p）则q④。由于有定理：（非p或者p）⑤，由④、⑤推得q。
　　方法之二：辩证的理论必须是普遍有效的，它能包括该领域的一切的经验知识，同时，它包括了与它矛盾的理论所适用的经验知识域，把其作为一个真子集。这也表明，理论的矛盾是量上的矛盾。
　　这里，普效的理论我们称之为客观理论，与其矛盾的理论称之为主观理论。主观理论不能从客观理论中推导出来。不过，在主观理论适用的范围内，客观理论对主观理论的术语和概念作了重新表达，我们称这种表达为“反映”。（在辩证法中，也把其称为量变引起质变。）由于这种翻译的作用，客观理论因而是普遍有效的，主观理论只在一个有限的范围内有效，其真集是一个常集。
　　例如，狭义相对论中的质量公式：
　　附图
　　此公式表示，当一个物体以速度u运动时，它的质量m是怎样随u而变化的。随u/c→0时，质量变为牛顿理论中的静止质量。在牛顿理论所适用的经验知识范围内，这两种表达的量上的差异超出了经验上的意义。
　　　　四、休谟归纳问题的模态逻辑语义解
　　我们可以把以上哲学上的陈述，用一种改造后的模态语义来陈述。这样才能科学地处理可能性与必然性。
　　真值的定义：P(Si)是真句子，记为P(Si)属于Xi，当且仅当，存在一个实验模型Xi，其中测得的数量值和P(Si)断言的值在实验允许的误差内吻合。Ti是真的理论，当且仅当它是真句子的集合，并且有一种逻辑结构，例如它还包括了许多能进行不完全归纳的“开句子”，并忽略了其它的量值。
　　归纳推理的模式：如果（如果对所有的i≤n-1，P(Si)则P(Sn))，并且实验上P(Sn)假），则Sn是P可能为真，用MP(Sn)表示，当且仅当理论引进一个新假定P(Sn+1)，并且（如果对所有的i≤n-1，P(Si)并且P(Sn+1)，则P(Sn)并且C1）。其中C1表明了误差。
　　归纳推理可以反复应用，即当P(Sn+1)不属于Xn+1，有：（如果对所有的i≤n-1，P(Si)并且P(Sn+2)，则P(Sn)并且P(Sn+1)并且C1并且C2），C2为误差。
　　矛盾理论的原则：存在理论t2，其中断定P'(S'n)等值非P(Sn)，并有对所有的i≤n-1，P'(S'i)R(P(Si))，R是两种矛盾理论之间的反映关系，表示理论t2对理论t1的术语和概念作了重新表达。t2的模型是Yi，对所有的i≤n-1，Yi包含Xi，但是Yn与Xn不同时存在，n以上都是这样。在理论t1真的经验知识范围Xn-1，…，X1内，Yi与Xi的差异小于实验误差，这根据关于真的定义，表明理论在t2在Xn-1中也真。
　　莱布尼兹用无矛盾性来界定可能性，即只要事物的情况或事物的情况组合推不出逻辑矛盾，该事物的情况或事物的情况组合就是可能的。我们这里谈的是理论，矛盾的不同的理论，显然是可能都出现的。在克里普克模态逻辑语义理论中，继承了莱布尼兹的这种说法，关系R表示事物的情况不同组合之间的可通达关系。如果一命题是必然真的，则它在所有有R关系的事物的情况不同组合中真，但是关系R不表示矛盾的关系。（注：参见冯棉：《可能能世界与逻辑研究》第一章，华东师范大学出版社1996年版。）我们这里R是两种矛盾理论之间的反映关系。可能性与可能真的不是一个概念。可能真我们要求与已真不矛盾。
　　模态词“可能”用M表示，理论t1中一命题P(Sn)是可能真的，当且仅当对所有的n-1，P(Si)属于Xi，P(Sn)为假，并且理论通过归纳推理，指示一个扩展的模型，这个模型不与已存在的模型矛盾。理论中一命题P(Sn)是不可能假的，当且仅当已经存在扩展后的模型Xi或者Yi，i等于和大于n。
　　模态词“必然”用L表示，它的定义：Lp等于非M非p，另有L非p等于非Mp。
　　如果确有P(Sn+1)属于Xn+1，则我们有（P(Sn)并且C1）属于Xn，所以LP(Sn)。假如t2以后可能真，因为在理论t1真的经验知识范围Xn，…，X1内，这两种理论表达的量上的差异超出了实验误差，所以P(Sn)不可能假，所以LP(Sn)。
　　克里普克已经论证了，经验必然命题是存在的。反映事物本质属性的命题是必然命题。而事物本质属性是在事物存在的任何可能世界中都具有的。（注：参见冯棉：《可能能世界与逻辑研究》第一章，华东师范大学出版社1996年版。）由于我们已经对可能世界作了允许矛盾的处理，所以对经验必然命题，也可以作如同维特根斯坦后期哲学一样的非本质主义的处理。
　　t2如果有模型Yn+1，…Y1，所以非P(Sn)不可能假，所以不可能P(Sn)。我们有：如果（如果对所有的i≤n-1，P(Si)并且P(Sn+1)，则（P(Sn)并且C1），那么，（如果对所有的i≤n-1，P(Si)并且（非P(Sn)或者非C1），则非P(Sn+1)。根据可能真的定义，所以P(Sn+1)不可能真。
　　对休谟的疑难，不能看成对抽象的因果关系的否定，它最多导致对具体理论的因果关系的否定。在这同时，我们必须承认一个新的与它矛盾的理论，它们的因果关系正好相反（根据我们上述对可能真的定义）。但是新理论有它自己的具体的因果关系，在这个理论上，可以继续应用不完全归纳推理。